相似矩阵知识点

二级结论

1. 与对角矩阵相似的只有对角矩阵
2. 相似矩阵的迹相等，即\(\text{tr}(A)=\text{tr}(B)\)
3. 相似矩阵的秩相等
4. 相似矩阵有相同的特征值
5. 与实对称矩阵相似的矩阵必可以相似对角化
6. 矩阵可以相似对角化只有两种情况：要么有\(n\)的不同的特征值，要么所有的\(k\)重特征值的几何重数也为\(k\)

相似矩阵特征向量的关系

若\(P^{-1}AP=B\)，\(B\)有特征向量\(\beta\)，则有如下推论：

因\(P^{-1}AP=B\)，\(B=\lambda\beta\)，则 \[ A=PBP^{-1} \] 故而 \[ AP\beta=PBP^{-1}P\beta=PBP\beta=P\lambda\beta \] \(\lambda\)作为数可以提到前面，则 \[ AP\beta=\lambda P\beta \]

由此可以得到，\(A\)有特征向量\(P\beta\)。

“先拆后合”求特征值

求矩阵\(A\)的特征值可以把\(A\)拆成一个简单矩阵\(B\)和若干倍的\(E\)的和，先求出\(B\)的特征值，再根据特征值的性质求出\(A\)的特征值。具体而言，可以进行如下操作：

例：求矩阵\(A=\left[\begin{array}{ccccc}a & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & a & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 1 & a & \cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & 1 & 1 & \cdots & a\end{array}\right]\)的特征值

解：由题目知， \[ \begin{aligned} \boldsymbol{A} & =\left[\begin{array}{lllll}a-1 & & & & \\ & a-1 & & & \\ & & a-1 & & \\ & & & \ddots & \\ & & & a-1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccccc}1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & 1 & 1 & \cdots & 1\end{array}\right] \\ & =(a-1) \boldsymbol{E}+\boldsymbol{B},\end{aligned} \]

而矩阵\(\boldsymbol{B}\)的秩为\(1\)，有 \[ |\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{B}|=\lambda^n-n\lambda^{n-1} \] 得到矩阵\(\boldsymbol{B}\)的特征值为\(n,0,0,...,0\)，因此\(\boldsymbol{A}\)的特征值为\(n+a-1,a-1,a-1,...,a-1\)。