一个有趣的线性代数二级结论

一个有趣的二级结论

设\(A,B\)是两个\(n\)阶实方阵，\(M=\left[\array{A&B\\B&A}\right]\)是一个分块矩阵，试证明\(\text{r}(M)=\text{r}(A+B)+\text{r}(A-B)\)。

这一结论的证明非常简洁，也很短。之所以要记录下来是因为最后一步的变换连续使用了两次初等变换，可能是太久没有做过相关练习的缘故，一直没有看出来是如何变形得到结论的。证明如下：

证： \[ \left[\begin{array}{ll}A & B \\ B & A\end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{cc}A & B \\ A+B & A+B\end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{cc}A-B & B \\ O & A+B\end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{cc}A-B & \\ & A+B\end{array}\right] \] 因此，有 \[ \text{r}(M)=\text{r}(A+B)+\text{r}(A-B) \]