高数复习（二）

\[ \begin{aligned} & \int \frac{x^2 \mathrm{~d} x}{\left(x^2+a^2\right)^2}=\frac{1}{2} \int \frac{x \mathrm{~d} x^2}{\left(x^2+a^2\right)^2}=-\frac{1}{2} \int x \mathrm{~d}\left(\frac{1}{x^2+a^2}\right) \\ & =-\frac{1}{2} \frac{x}{x^2+a^2}+\frac{1}{2} \int \frac{\mathrm{d} x}{x^2+a^2}=-\frac{1}{2} \frac{x}{x^2+a^2}+\frac{1}{2 a} \arctan \frac{x}{a}+C . \end{aligned} \]

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当被积函数的分母中的根式\(\sqrt{ax^2+bx+c}\)外有因子\(x\)时，可以先作变换\(x=\dfrac{1}{t}\)（倒置变换），再配方用三角函数变换可以简化计算.

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\[ \begin{aligned} \int \sec ^3 x \mathrm{~d} x & =\int \sec x \mathrm{dtan} x=\sec x \tan x-\int \tan ^2 x \sec x \mathrm{~d} x \\ & =\sec x \tan x-\int\left(\sec ^3 x-\sec x\right) \mathrm{d} x \\ & =\sec x \tan x-\int \sec ^3 x \mathrm{~d} x+\ln |\sec x+\tan x|, \\ 故\int \sec ^3 x \mathrm{~d} x & =\frac{1}{2}(\sec x \tan x+\ln |\sec x+\tan x|)+C . \end{aligned} \]

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\[ \int_{-a}^{a}f(x)\text{d}x=\int_{0}^a\left[f(x)+f(-x)\right]\text{d}x \]

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无界函数一定不是Riemann可积的。这是因为Riemann积分定义为Riemann和在分划直径趋于\(0\)时的极限。但无界函数的Riemann和一定不收敛。瑕积分虽然以Riemann积分为基础，但已经不是Riemann积分了，从定义上而言是一个变限积分的极限。虽然可以讨论无界函数的瑕积分，无界函数的瑕积分也可能收敛，但这并不是真正意义上的Riemann积分。无论如何，无界函数一定不是Riemann可积的。

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函数Riemann可积的充要条件是不连续点的Lebesgue测度为\(0\)。

任何单调函数都是Riemann可积的，因为任何单调函数的不连续点是最多可数个，测度是0。

因此，有无穷多个间断点的函数也有可能可积，比如 \[ f(x)= \begin{cases}0, & x=\dfrac{1}{n}, n \in \mathbf{N}_{+} \\ x, & x \neq \dfrac{1}{n} \end{cases} \] \(f(x)\)在\(\left[0,1\right]\)上有无穷多个间断点，但依然可积。