高数重难点

重难点总结

傅里叶变换

\([-\pi,\pi]\)上的傅里叶变换

通式： \[ f(x)={\frac{a_{0}}{2}}\,+\,\sum_{n=1}^{\infty}\,\left(\,a_{n}\cos\,n x\,+\,b_{n}\sin\,n x\,\right)\, \] \[ a_{k}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(\,x)\cos\,k x\mathrm{d}x\quad(\,k=0\,,1\,,2\,,\cdots\,)\; \] \[ b_{_{k}}={\frac{1}{\pi}}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin\,k x\mathrm{d}x\ \ \ (\,k\,=\,1\,,2\,,\cdots\,). \] 对于奇函数，傅里叶级数称为正弦级数，即 \[ f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_{x}\sin\,n x\,,\quad x\in(\,-\,\infty\,,\,+\,\infty\,) \] \[ b_{_n}={\frac{1}{\pi}}\int_{-\pi}^{\pi}f(\,x)\sin\,n x\mathrm{d}x={\frac{2}{\pi}}\int_{0}^{\pi}\!f(\,x)\sin\,n x\mathrm{d}x\quad(\,n\,=\,1\,,2\,,\cdots) \] 同理，余弦级数： \[ f(x)={\frac{a_{0}}{2}}\,+\,\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\cos\,n x\,,\quad x\,\in\,(\,-\,\infty\,\,,\,\,+\,\infty\,\,) \] \[ a_{n}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(\,x\,)\cos\,n x\mathrm{d}x\quad(\,n\,=0\,,\,1\,,2\,,\,\cdots\,) \] ### \([-l,l]\)上的傅里叶变换 通式： \[ f(x)={\frac{a_{0}}{2}}\,+\,\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}\mathrm{cos}\,{\frac{n\pi x}{l}}\,+\,b_{n}\mathrm{sin}\,{\frac{n\pi x}{l}}\right) \] 其中， \[ a_{n}\,=\,\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(\,x)\cos\frac{n\pi x}{l}\mathrm{d}x\;\;\;\;(\,n\,=\,0\,,1\,,2\,,\cdots) \] \[ b_{n}=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\sin\frac{n\pi x}{l}\mathrm{d}x~~~(n=1,2,\cdots) \] ### \([0,l]\)上的傅里叶变换 需要进行解析延拓，分为奇延拓和偶延拓

奇延拓

通式： \[ f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\,b_{n}\sin{\frac{n\pi x}{l}} \]

其中 \[ b_{n}=\frac{2}{l}\int_{0}^{l}f(x)\sin\frac{n\pi x}{l}\mathrm{d}x~~~(n=1,2,\cdots) \]

####偶延拓

\[ f(x)={\frac{a_{0}}{2}}\,+\,\sum_{n=1}^{\infty}\,a_{n}\cos{\frac{n\pi x}{l}} \] 其中 \[ a_{n}=\frac{2}{l}\int_{0}^{l}\!f(\,x\,)\cos\,\frac{n\pi x}{l}\mathrm{d}x\quad(\,n=0\,,1\,,2\,,\cdots) \] ## 线积分、面积分的计算方法

若 \[ x=x(\,t\,),y=y(\,t\,),z=z(\,t\,)\;\;\;\;\;\;(\alpha< t< \beta) \] 则

\[\int_{(C)} f(x, y, z) \mathrm{d} s=\int_\alpha^\beta f[x(t), y(t), z(t)] \sqrt{\dot{x}^2(t)+\dot{y}^2(t)+\dot{z}^2(t)} \mathrm{d} t \]

第一型面积分

若\(S\)的方程为 \[z=f(x,y)\] 则第一型面积分的计算公式为： \[\iint_{(S)} f(x, y, z) \mathrm{d} S=\iint_{(\sigma)} f[x, y, z(x, y)] \sqrt{1+z_x^2+z_y^2} \mathrm{~d} x \mathrm{d} y \] ### 第二型线积分 设光滑有向曲线\((C)\)的参数方程是 \[\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t)=(x(t), y(t), z(t)) \quad(\alpha \leqslant t \leqslant \beta)\] 而又有向量值函数 \[\boldsymbol{A}=\boldsymbol{A}(x, y, z)=(P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))\]

则 \[\begin{aligned} \int_{(C)} \boldsymbol{A}(M) \cdot \mathbf{d} s & =\int_{(C)}(P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) \cdot(\mathrm{d} x, \mathrm{~d} y, \mathrm{~d} z) \\ & =\int_{(G)} P(x, y, z) \mathrm{d} x+Q(x, y, z) \mathrm{d} y+R(x, y, z) \mathrm{d} z \end{aligned}\] 其中 \[\begin{aligned} & \int_{(C)} P(x, y, z) \mathrm{d} x=\int_\alpha^\beta P[x(t), y(t), z(t)] \dot{x}(t) \mathrm{d} t, \\ & \int_{(C)} Q(x, y, z) \mathrm{d} y=\int_\alpha^\beta Q[x(t), y(t), z(t)] \dot{y}(t) \mathrm{d} t, \\ & \int_{(C)} R(x, y, z) \mathrm{d} z=\int_\alpha^\beta R[x(t), y(t), z(t)] \dot{z}(t) \mathrm{d} t . \end{aligned}\]

两类线积分的联系

如果设\(M\)处的切向量为\((\cos \alpha,\cos \beta,\cos \gamma)\)，则 \[\int_{(C)} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y+R \mathrm{~d} z=\int_{(C)}(P \cos \alpha+Q \cos \beta+R \cos \gamma) \mathrm{d} s\]

第二型面积分

设有向曲面\((S)\)为\(z=z(x,y)\)，其在\(xOy\)平面上的投影为\((\sigma_{xy})\)，则 \[\iint_{(S)} R(x, y, z) \mathrm{d} x \wedge \mathrm{d} y= \pm \iint_{\left(\sigma_{xy}\right)} R[x, y, z(x, y)] \mathrm{d} x \mathrm{d} y\]

对于\(x=x(y,z)\)和\(y=y(x,z)\)同理 ## 各种积分的联系及场论

Green公式

设平面有界闭区域\((\sigma)\)由一条分段光滑的简单曲线所围成，\((\sigma)\)的边界曲线为\((C)\)，函数\(P,Q\)在\((\sigma)\)上一阶导函数连续，则 \[\iint_{(\sigma)}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \mathrm{d} \sigma=\oint_{(+C)} P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y\] ### Gauss公式 空间有界闭区域\((V)\)的边界为\((S)\)，则 \[ \iiint_V\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right) \mathrm{d} V=\iint_{(S)} P \mathrm{~d} y \wedge \mathrm{d} z+Q \mathrm{~d} z \wedge \mathrm{d} x+R \mathrm{~d} x \wedge \mathrm{d} y \] ### Stokes公式 \[ \oint_{(S)}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z=\iint_{(S)}\!\left({\frac{\partial R}{\partial y}}-{\frac{\partial Q}{\partial z}}\!\right)\operatorname{d}\!y\wedge \text{d}z+\left({\frac{\partial P}{\partial z}}-{\frac{\partial R}{\partial x}}\!\right)\operatorname{d}\!z\wedge \text{d}x+\left({\frac{\partial Q}{\partial x}}-{\frac{\partial P}{\partial y}}\right)\operatorname{d}\!x\wedge \text{d}y \] ### 场论部分 记\[ \nabla=(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}) \] 那么，

梯度

设二元函数\(f(x,y)\)在\((x_0,y_0)\)处可微，则\(f\)在该点处的梯度一定存在，并且梯度为：\[ \nabla f(x_0,y_0)=(\dfrac{\partial f}{\partial x},\dfrac{\partial f}{\partial y}) \] 而对于散度， #### 散度（同时也是一个通量密度） 散度的计算公式： \[\text{div}~\mathbf{A}=\nabla \cdot \mathbf{A}=\dfrac{\partial P}{\partial x}+\dfrac{\partial Q}{\partial y}+\dfrac{\partial R}{\partial z} \] 接下来，

旋度（是矢量，本身不是环量密度）

\[ \mathbf{rot~A}=\nabla \times \mathbf{A} \]

有了这三个量，可以引出对各种场的讨论：

各种场之间的关系

无旋场

• 无旋场——环量处处为\(0\)
• 如果一个场为无旋场，那么它为有势场，也就存在势函数；它同时也是保守场
• 对无旋场，\(P\text{d}x+Q\text{d}y+R\text{d}z\)是某一函数的全微分
• 该场中线积分与路径无关 ##### 无源场
• 沿任意一不自交闭曲面的通量为\(0\)
• 处处散度为\(0\) ##### 调和场
• 既无源又无旋的场称为调和场 ## 级数 常用级数公式： \[e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}x^{n}\,\left(-\infty<x<+\infty\right)\] \[\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1} (-\infty \lt x \lt +\infty)\]

一些其他的理解

有时候第一型面积分的计算不一定选择\(x,y\)为参，例如选择\(\varphi, \theta\)，为参数，并把曲面上的坐标表示成 \[r=(x(\varphi, \theta),y(\varphi, \theta),z(\varphi, \theta))\]

其中 \[x=R\sin\varphi\cos\theta\] \[ y=R\sin\varphi\sin\theta \] \[z=R\cos\varphi\] \[ 此时，面积分为 \]{()}f[x(, ),y(, ),z(, )]||r{}r_{}|| $$ 此时的变换为球坐标变换，计算可以得到

\[||r_{\theta}\times r_{\varphi}||=R^2 \sin \varphi\]

在计算级数和函数的时候注意观察已经得到的级数形式是否符合某个已知的简单函数的展开式，若有，则直接把变量代入已知函数即可。